CentraleSupélec
Les systèmes linéaires et invariants dans le temps (SLIT) sont omniprésents dans notre vie quotidienne :
Un filtre linéaire numérique est défini par une suite \(\{h(t)\}_{t \in \mathbb{Z}}\) appelée réponse impulsionnelle. On suppose \(h(t) \in \mathbb{R}\) pour tout \(t\).
Sa fonction de transfert est donnée par la transformée en z de \(h(t)\): \[ H(z) = \sum_{t \in \mathbb{Z}} h(t) z^{-t}. \]
La sortie \(y(t)\) du filtre appliqué à toute entrée \(x(t)\) est donnée par le produit de convolution de l’entrée avec la réponse impulsionnelle :
\[ y(t) = [x \star h](t) = \sum_{k=-\infty}^{+\infty} h(t-k) x(k) = \sum_{k=-\infty}^{+\infty} h(k) x(t-k). \]
Si \(X(z)\) et \(Y(z)\) sont les transformée en z de \(x(t)\) et \(y(t)\) alors on a :
\[ Y(z) = H(z) X(z). \]
Si le filtre est stable, \(\hat{h}(\nu) := H\left(e^{\imath 2\pi\nu}\right)\) est bien définie, et si \(\hat{x}(\nu)\) et \(\hat{y}(\nu)\) sont les TFTD de \(x(t)\) et \(y(t)\) alors on a :
\[ \hat{y}(\nu) = \hat{h}(\nu)\hat{x}(\nu). \]
De façon générale, un filtre à réponse impulsionnelle infinie est décrit par une fonction de transfert sous forme de fraction rationnelle : \[ H(z) = \frac{B(z)}{A(z)} = \frac{b_0 + b_1 z^{-1} + b_2 z^{-2} + \cdots + b_Q z^{-Q}}{1 + a_1 z^{-1} + a_2 z^{-2} + \cdots + a_P z^{-P}}. \]
Le filtre est décrit dans le domaine temporel par une équation récurrente linéaire : \[y(t) = -\sum_{k=1}^{P} a_k\, y(t-k) + \sum_{k=0}^{Q} b_k\, x(t-k)\]
Le filtre est causal et stable si et seulement si les pôles sont strictement à l’intérieur du cercle unité, càd \(A(z) \neq 0\) pour \(|z| \ge 1\).
On peut montrer que \(y(t)\), solution de l’équation récurrente ci-dessus, s’écrit comme la convolution de \(x(t)\) avec une réponse impulsionnelle \(h(t)\) de support infini.
Notons enfin que si les coefficients de l’équation récurrente sont réels :
La fonction de transfert précedente peut s’écrire sous forme factorisée :
\[ H(z) = b_0 \cdot \frac{(1 - z_1 z^{-1})(1 - z_2 z^{-1}) \cdots (1 - z_Q z^{-1})}{(1 - p_1 z^{-1})(1 - p_2 z^{-1}) \cdots (1 - p_P z^{-1})} \]
où
Un filtre à réponse impulsionnelle finie est un filtre dont la réponse impulsionnelle \(h(t)\) est de support fini : \(h(t) = 0\) pour tout \(t \notin [0, Q]\) avec \(Q\) l’ordre du filtre.
Sa fonction de transfert est un polynôme en \(z^{-1}\) : \[ H(z) = b_0 + b_1 z^{-1} + b_2 z^{-2} + \cdots + b_Q z^{-Q} \]
Le filtre est décrit dans le domaine temporel par \[y(t) = \sum\limits_{k=0}^{Q} b_k\, x(t-k).\]
Le filtre est toujours stable (la réponse impulsionnelle est de module sommable), il est causal si \(h(t) = 0\) pour \(t < 0\), et il est facile à implémenter (pas de rétroaction).
Il s’agit maintenant d’étudier comment étendre la notion de filtrage à une entrée sous forme de signal aléatoire.
Soit \(\{X(t)\}_{t \in \mathbb{Z}}\) un processus aléatoire stationnaire au sens large (SSL) de moyenne \(m_X\), de fonction d’autocovariance \(R_{XX}(k)\), et de mesure spectrale \(\mu_{XX}(\nu)\).
Soit \(\{Y(t)\}_{t \in \mathbb{Z}}\) le processus obtenu par filtrage de \(\{X(t)\}_{t \in \mathbb{Z}}\) par un filtre de réponse impulsionnelle \(\{h(t)\}_{t \in \mathbb{Z}}\).
Comme précédemment, nous avons la relation entrée / sortie suivante :
\[ Y(t) = [X \star h](t) = \sum_{k=-\infty}^{+\infty} h(t-k) X(k) = \sum_{k=-\infty}^{+\infty} h(k) X(t-k) \]
Une condition suffisante pour que la somme ci-dessus existe est que \(\{h(t)\}_{t \in \mathbb{Z}}\) soit de module sommable, c’est-à-dire :
\[\sum_{t \in \mathbb{Z}} |h(t)| < +\infty. \]
On peut montrer que (voir exercices TD) :
Le processus \(\{Y(t)\}_{t}\) est SSL.
La moyenne de \(\{Y(t)\}_{t}\) vérifie
\[m_Y = m_X \sum_{k=-\infty}^{+\infty} h(k).\]
La fonction d’autocovariance de \(\{Y(t)\}_{t}\) vérifie : \[ R_{YY}(k) = \sum_{i=-\infty}^{+\infty} \sum_{j=-\infty}^{+\infty} h(i) h(j)^* R_{XX}(k + j - i).\]
Soit \(\hat{h}(\nu)\) la TFTD de \(h(t)\). La mesure spectrale \(\mu_{YY}(\nu)\) de \(\{Y(t)\}_{t}\) vérifie : \[\mu_{YY}(\nu) = | \hat{h}(\nu) |^2 \mu_{XX}(\nu). \]
L’égalité précédente est à comprendre au sens des mesures, où pour tout ensemble mesurable \(A \subseteq [-0.5, 0.5]\), \[\mu_{YY}(A) = \int_A d\mu_{YY}(\nu) = \int_A | \hat{h}(\nu) |^2 d\mu_{XX}(\nu).\]
En particulier, si \(\{X(t)\}_{t}\) possède une DSP notée \(S_{XX}(\nu)\), \(\{Y(t)\}_{t}\) possède également une DSP donnée par
\[S_{YY}(\nu) = | \hat{h}(\nu) |^2 S_{XX}(\nu).\]
Soit \(C_{hh}(t)\) la convolution de la réponse impulsionnelle du filtre avec son retourné temporel conjugué \(\tilde{h}(t) = h^*(-t)\) :
\[C_{hh}(t) = [h \star \tilde{h}](t) = \sum\limits_{j=-\infty}^{+\infty} h(j)h^*(j-t).\]
On peut montrer que \(R_{YY}\) se réécrit comme la convolution de \(R_{XX}\) avec \(C_{hh}\) : \[ R_{YY}(k) = \sum_{j=-\infty}^{+\infty} R_{XX}(j) C_{hh}(k-j) = [R_{XX} \star h \star \tilde{h}](k). \]
En appliquant le théorème de Wiener-Khinchin et grâce aux propriétés de la TFTD, on en déduit que :
\[ S_{YY}(\nu) = | \hat{h}(\nu) |^2 S_{XX}(\nu). \]